Analisis Mining Tecnique: AMTSC Geostatistik

1. Geostatistik

Istilah Geostatistik pertama kali digunakan secara luas oleh Matheron (1963) dan didefinisikan sebagai aplikasi hubungan atau turunan fungsi random dalam penelaahan dan memperkirakan gejala alam. Gejala alam itu sendiri seringkali dapat dikenal variabelnya yang tertentu, misalnya penyebaran dalam suatu ruang, bidang maupun garis. Penyebaran variabel dalam suatu ruang, bidang atau garis disebut variabel teregional atau dapat diartikan sebagai variabel yang diukur tergantung pada nilai sekitar yang terdistribusi dalam ruang berdimensi dua atau tiga. Variabel tersebut tidak lain adalah merupakan pengujian fungsi f(x) yang menempati setiap titik (x) pada ruang.

Geostatistik adalah merupakan aplikasi teori variabel terregional dalam mempelajari fenomena-fenomena gejala alam, terutama untuk menentukan volume bahan galian. Landasan dari Geostatistik adalah “The Theory of Regionalised Variables”, yang mana bahwa data dari titik-titik sampel mempunyai korelasi satu sama lain sesuai dengan karakteristik penyebaran endapan mineralnya.

Tahapan perhitungan cadangan dalam analisis geostatistik secara umum meliputi : pengamatan data lapangan, variografi, dan perhitungan variansi perkiraan dan variansi krigging.

1. Pengamatan Data Lapangan

Dari hasil pemboran didapat koordinat (x , y) dengan ketebalan Z, sehingga titik bor ditulis Z(x , y).

2. Variografi

Adalah merupakan serangkaian pekerjaan mulai dari penelusuran data, pembuatan model hingga analisanya.

- Penelusuran Data

Secara manual atau dengan komputer. Jika data tersusun dalam grid/spacing yang teratur dapat dilakukan perhitungan secara langsung dengan arah horisontal, vertikal ataupun diagonal.

- Pembuatan dan Analisis Variogram Eksperimen

Variogram adalah suatu grafik x - y yang dihasilkan dari pengeplotan jarak dan variance dari data yang berpasangan. Variance dapat dihitung dengan rumus :

t (h) = 1/2 N (h) S [ Z (X_i + h ) - (Z (X_i) ]²

i=1

keterangan :

Z (X_i) = tebal pada titik conto X_i

Z (X_i + h) = tebal titik conto yang berjarak h dari X_i

h = jarak yang merupakan fungsi fektor (arah tertentu)

N (h) = jumlah pasangan data yang dihitung sepanjang arah tertentu jarak tertentu dengan interval jarak h

t (h) = semivariogram

3. Analisa Krigging

Adalah analisa untuk menaksir tebal blok yang dilakukan berdasarkan nilai semi variogram, jarak pengaruh dan jarak setiap titik yan g akan ditafsir nilainya atau tebalnya.

Dalam bentuk matrik persamaan Krigging dapat ditulis dengan :

[ S ] [ A ] = [ D ]

Keterangan :

s₁₁ s₁₂ . . . s_1n 1

s₂₁ s₂₂ . . . s_2n 1

[ S ] =

s_n1 s_{n2 . . .} s_nn 1

1 1 1 0

= matrik simetris yang tergantung tebal conto X_i yang diketahui

s_vx1

s_vx2

[ D ] = :

sxn

= matrik yang harganya tergantung pada blok V dan titik conto X_i

[ A ] = pembobot

sehingga besarnya pembobot [ A ] = [ S ]^-1 [ D ]

Langkah-langkah analisa Krigging :

· Dengan rumus-rumus diatas dibuat susunan matriks untuk menghitung variansi antara conto dengan titik yang akan ditaksir tebalnya. Dari matriks tersebut dapat ditentukan bobot pengaruh setiap contoh yang menjadi penaksir terhadap titik yang akan ditentukan tebalnya.

· Selanjutnya koefisien-koefisien matriks dihitung dengan gabungan rumus sebagai berikut :

s_xixj = C + C_o - t (h)

t (h) = 1/2 N (h) S [ Z (X_i + h) - Z (X_i) ]²

i=1

keterangan :

s_xixj = kesalahan krigging

C + C_o = nilai sill

C_o = Nugget effect

3.2.1. Variogram

Variogram oleh Journel & Huijbreght (1978) dikatakan sebagai karakteristik variabel diantara dua kuantitas (conto) Z(x_i) dan Z(x_i+h). Variogram eksperimental dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:

............................................. (8)

dimana:

: Variogram eksperimental

: Nilai kadar pada lokasi

: Jumlah pasangan data

Persamaan di atas hanya berlaku bagi data dengan jarak antar pasangan (lag) yang sama sebesar h dan berarah 0^°. Sedangkan untuk data yang memiliki jarak antar conto tidak teratur diperlukan suatu toleransi untuk kedua variabel tersebut. David (1977) menjelaskan istilah angle classes (θ±α/2) dan distance classes (h±Δh) sebagai toleransi untuk menghitung pasangan data dengan jarak antar data yang tidak teratur. Semua titik conto atau data yang berada pada search area yang didefinisikan dengan angle classes dan distance classes akan dianggap sebagai titik-titik conto yang berjarak h dari titik x_o(titik origin)pada arah yang dimaksud, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3.

Gambar 3.4. Searching area untuk variogram dengan angle classes (θ±α/2) dan distance classes (h±Δh) (David, 1977).

a. Komponen Variogram

Sebuah variogram memiliki beberapa komponen (Gambar 3.4) yaitu antara lain:

1. Nugget effect

Nugget effect merupakan petunjuk bahwa data mempunyai ketidakteraturan yang tinggi. Nugget effect dapat dihindari dengan memperkecil jarak sampling (Darijanto, 1998). Apabila nugget pada suatu model variogram tinggi, maka akan dihasilkan nilai bobot conto yang hampir sama untuk semua conto, akibatnya penaksiran kriging akan mirip dengan nilai rata-rata biasa.

2. Sill

Sill adalah varians maksimum yang terdapat pada suatu distribusi, dimana rata-rata varians tidak bergantung lagi pada jarak antar sampel.

3. Range

Secara umum γ(h) akan naik dengan bertambahnya harga h, artinya besarnya perbedaan harga pada dua titik conto akan sangat tergantung dengan jarak antara kedua titik tersebut. Kenaikan harga γ(h) tersebut akan berlangsung selama masih terdapat pengaruh harga antar titik conto tersebut, daerah ini dikenal dengan nama daerah pengaruh suatu conto, sampai akhirnya konstan di suatu harga γ(∞) = C (sill) yang merupakan varians populasi. Daerah pengaruh suatu conto ini mempunyai suatu jarak dengan notasi a yang dikenal dengan nama daerah pengaruh (range). Di luar jarak ini maka rata-rata variasi harga Z(x) dan Z(x+h) tidak lagi tergantung dengan jarak, dengan kata lain Z(x) dan Z(x+h) tidak berkolerasi satu dengan yang lainnya.

Gambar 3.5. Komponen variogram (Sinclair & Blackwell, 2004).

b. Variogram Eksperimental

Variogram eksperimental dibuat berdasarkan perhitungan dari 2 (dua) data dengan jarak tertentu sebesar h. Data tersebut merupakan data yang diperoleh dari pengukuran di lapangan, dapat berupa data kadar, ketebalan, dll. Pencarian pasangan data dalam variogram ditunjukkan pada Gambar 3.5.

Gambar 3.6. Pencarian pasangan data pada

perhitungan variogram eksperimental (Sinclair & Blackwell, 2004).

Dari hasil perhitungan variogram diplot pada suatu koordinat kartesian jarak antar pasangan data (h) dan variogram γ(h) seperti terlihat pada Gambar 3.6.

Gambar 3.7. Variogram eksperimental (Sinclair & Blackwell, 2004).

c. Fitting Variogram

Metode yang umum digunakan dalam melakukan fitting variogram ada 2 (dua), yaitu: metode visual dan metode least square. Para ahli geostatistik lebih banyak menggunakan metode visual (manual) untuk fitting variogram karena hasilnya sudah cukup memuaskan (David, 1977). Namun, pekerjaan ini sangat tergantung dari pengalaman dan sense seseorang. Tujuan dari fitting ini adalah untuk menentukan parameter geostatistik seperti range (a), sill (C) dan nugget variance (C₀).

Berikut ini adalah beberapa pedoman penting dalam melakukan fitting variogram:

· Variogram yang mempunyai pasangan conto yang sangat sedikit agar diabaikan.

· Nugget variance (C₀) didapat dari perpotongan garis tangensial dari beberapa titik pertama variogram dengan sumbu Y.

· Sill (C₀+C) kira-kira sama dengan atau mendekati varians populasi. Garis tangensial di atas akan memotong garis sill pada jarak 2/3 range (

), sehingga selanjutnya dapat dihitung harga range (David, 1977).

· Interpretasi nugget variance untuk variogram dengan sudut toleransi 180° (variogram rata-rata) akan sangat membantu untuk memperkirakan besarnya nugget variance (David, 1977).

· Nugget variance diambil dari multiple variogram (dalam berbagai arah). Dalam multiple variogram, best spherical line sebaiknya lebih mendekati variogram yang mempunyai pasangan conto yang cukup.

d. Variogram Model

Berdasarkan ada tidaknya sill dan range, maka model variogram dikelompokkan menjadi model dengan sill dan model tanpa sill sebagai berikut :

1. Model dengan sill

· Model Sferis (Model Matheron)

Model Sferis yang ditunjukkan pada Gambar 3.7. dengan persamaan:

Untuk h ≤ a

Untuk h > a ................................. (9)

Untuk h = 0

Gambar 3.8. Variogram model sferis (Armstrong, 1998).

· Model Eksponensial

Model Eksponensial yang ditunjukkan pada Gambar 3.8 diberikan oleh persamaan berikut:

................................................ (10)

Gambar 3.9. Variogram model eksponensial (Armstrong, 1998).

· Model Gaussian

Model Gaussian yang ditunjukkan pada Gambar 3.9. diberikan oleh persamaan berikut:

.............................................. (11)

Gambar 3.10. Variogram model gaussian (Armstrong, 1998).

2. Model tanpa sill

Variogram model tanpa sill ada 3 (tiga) yaitu model Linear, de Wijsian dan Parabolik seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.10.

· Linear

Model linear diberikan oleh persamaan berikut:

...................................................... (12)

dimana a² adalah konstanta yang ditetapkan.

· Logaritmik atau de Wijsian

Model Logaritmik atau de Wijsian diberikan oleh persamaan berikut:

...................................................... (13)

dimana a adalah konstanta yang ditetapkan.

· Model Parabolik

Model Parabolik diberikan oleh persamaan berikut:

....................................................... (14)

dimana a² adalah konstanta yang ditetapkan.

Gambar 3.11. Variogram model tanpa sill (Armstrong, 1998).

e. Isotropi dan Anisotropi

Mengingat h merupakan suatu vektor, maka suatu variogram harus ditentukan untuk berbagai arah. Suatu penyelidikan perubahan

sesuai dengan arah orientasinya memungkinkan munculnya anisotropi. Berikut ini adalah beberapa sifat isotropi/anisotropi dari variogram seperti pada Gambar 3.11.

1. Isotropi

Jika variogram pada berbagai arah sama, maka dapat diartikan bahwa

merupakan fungsi dengan harga absolut h. Bila harga-harga jarak pengaruh diplotkan kedalam suatu diagram cartesius maka harga range merupakan jarak yang sama dan berbentuk seperti lingkaran.

2. Anisotropi Geometri

Bentuk anisotropi geometri dicirikan dengan nilai sill dan nugget effect yang sama, dengan nilai range yang berbeda. Bila harga-harga jarak pengaruh diplotkan kedalam suatu diagram cartesius maka akan menghasilkan suatu bentuk ellips.

3. Anisotropi Zonal

Dalam beberapa hal kemungkinan dijumpai bahwa variogram pada arah tertentu sangat berbeda, misalnya pada endapan yang mempunyai struktur perlapisan, dimana variasi kadar pada arah tegak lurus terhadap bidang perlapisan sangat besar dibandingkan variasinya pada bidang perlapisan. Pada kasus ini model variogramnya benar-benar anisotropi sempurna.

Gambar 3.12. Model variogram anisotropi geometri (a) dan zonal (b).

(Journel & Huijbreght, 1978)

3.2.2. Ordinary Kriging

Kriging merupakan suatu teknik estimasi lokal yang memberikan harga estimasi dalam keadaan tidak biasa, kriging disebut juga sebagai Best Linear Unbiased Estimator (BLUE). Estimasi pada variabel tunggal biasa dilakukan dengan Ordinary Kriging (OK).

Pada Ordinary Kriging hal – hal yang perlu diperhatikan adalah:

· Nilai estimasi variabel blok

Nilai estimasi variabel dari masing-masing blok dilakukan dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: